动态规划习题精华体会- 华体会体育- 体育官网讲

2024-11-18 18:12:50

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　　信息学竞赛中的动态规划专题哈尔滨工业大学周谷越【关键字】动态规划动机状态典型题目辅助方法优化方法【摘要】本文针对信息学竞赛（面向中学生的Noi以及面向大学生的ACM/ICPC）中的动态规划算法,从动机入手,讨论了动态规划的基本思想和常见应用方法。通过一些常见的经典题目来归纳动态规划的一般作法并从理论上加以分析和说明。并介绍了一些解决动态规划问题时的一些辅助技巧和优化方法。纵观全文可知,动态规划的关键在于把握本质思想的基础上灵活运用。【目录】1.动态规划的动机和基本思想1.1.解决反复子问题1.2.解决复杂贪心问题2.动态规划状态的划分方法2.1.一维状态划分2.2.二维状态划分2.3.树型状态划分3.动态规划的辅助与优化方法3.1.常见辅助方法3.2.常见优化方法4.近年来Noi动态规划题目分析4.1Noi2023瑰丽华尔兹4.2Noi2023聪聪与可可4.3Noi2023网络收费4.4Noi2023千年虫附录参考书籍与相关材料1.动态规划的动机和基本思想一方面声明,这里所说的动态规划的动机是从竞赛角度出发的动机。1.1解决反复子问题对于很多问题,我们运用分治的思想,可以把大问题分解成若干小问题,然后再把各个小问题的答案组合起来,得到大问题的解答。这类问题的共同点是小问题和大问题的本质相同。很多分治法可以解决的问题（如quick_sort,hanoi_tower等）都是把大问题化成2个以内的不相反复的小问题,解决的问题数量即为∑(log2n/k)。而考虑下面这个问题:USACO1.4.3NumberTriangles【题目描述】考虑在下面被显示的数字金字塔。写一个程序来计算从最高点开始在底部任意处结束的途径通过数字的和的最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。在上面的样例中,从7到3到8到7到5的途径产生了最大和:30。【输入格式】第一个行包含R(1

　　F[I-1,J-1]ThenF[I,J]=F[I-1,J]+A[I,J]ElseF[I,J]=F[I-1,J-1]+A[I,J]接下来我们从理论上来讨论使用动态规划的条件。对于一种状态划分的方法来说,状态只与状态自身的性质有关,而与如何达成该状态等其他条件一概无关的性质叫做无后效性。由于存在无后效性,决策只能从决策自身的性质来拟定,使得某一阶段的状态只与它所在阶段的前一阶段的状态有关。可以看出,存在无后效性是应用动态规划的前提条件。而考虑动态规划的对的性时,问题则需要满足最优子结构。所谓最优子结构,即当前一阶段的状态最优时,通过状态转移方程得到的状态也能达成最优。理论上看,无后效性和最优子结构是使用动态规划时的两个基本条件,而具体应用动态规划时更多凭借的是经验。下面再引出一道经典题目做一下分析:ACM/ICPCShanghai2023Skiing【题目描述】滑雪是一项很受欢迎的体育运动,为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,并且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡。我们想知道载一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子:5242520 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 我们可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一, 当且仅当高度减小。在上面的例子中, 一 条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1 更长。事实上, 这是最长的一条。 【输入格式】 输入的第一行表达区域的行数R 和列数C(1

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