算法合集之《基本动态规划问题的扩华体会- 华体会体育- 体育官网展

2024-11-19 11:00:39

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　　更进一步的，我们只要找出满足B[a, h]B[b, h]的最小的h，就可以免去h之后对第a列的计算。而这样的h，我们可以用二分查找法在O(log n)时间内找到（若w更特殊一些，例如说是确定的函数，我们甚至可以在O(1)的时间找到）。并且对于每一行来说，都只需要执行一次二分查找。在求出所有的h之后，只需用O(n)的时间对每列的第h行求值就可以了。这样得出的总时间为O(n)O(n log n)= O(n log n)。至于程序设计上的问题，虽然并不复杂，但不是15分钟所可以解决的，也不是重点，略过不谈。[2]不过由于该题目可以用滚动数组的技巧解决空间的问题，故在大数据量时该算法有优异的表现。

　　[3]我们知道，动态规划实际是求无向图的最短路的一种方法，故我们可以把动态规划中的每一个状态看成一个点，并将状态的转移过程变为一个图。在转化为最小费用最大流时，我们把这一个点拆成两个点，一个出点和一个入点，所有指向原来这个点的边都与入点相连，且所有由原来这个点发出的边现都以出点为起点。原来的边的容量设为正无穷，边权值一般不变。新增的入点与出点之间连一条边，它的权值为点权值，容量为每一点可以经过的次数（一般为一）。并且建立一个超级源和一个超级汇，并与可能的入点和出点连边。若有必要，超级源（或汇）也要拆成两个点，并且两个点之间的边的容量为最大的可能容量，边权值为0。这样，用最小费用流的方法得出的解就是该问题多维情况下的接。

　　对于模型的转化方法，我们有一些一般的规律。若状态转移方程只与另一个状态有关，我们可以肯定得到一个最小费用最大流的模型[3]。这个模型必然有其规律的地方，甚至用对偶算法在对网络流的求解时也还要用到动态规划的方法。不过这不是重点，我们关心的只是动态规划问题如何转化。例如说IOI’97《火星探测器》一题。这一题的一维模型是可以用动态规划来解决的（这里的维数概念是指探测器的数目）。在维数增加时，我们就可以用该方法来用网络流的方法解决问题。

　　这样的问题比较复杂，我们以最长不下降子序列问题为例。规划方程为：f(i)=max{f(j)}1, d[i]≥d[j]; ij。通常认为，这个问题的最低可行时间复杂度为O(n2)。不过，这个问题只多了一个d[i]≥d[j]的限制，是不是也可以优化呢？我们注意到max{f(j)}的部分，它的时间复杂度为O(n)。但对于这样的式子，我们通常都可以用一个优先队列来使这个max运算的时间复杂度降至O(log n)。对于该问题，我们也可以用这样的方法。在计算d[i]时，我们要先有一个平衡排序二叉树（例如红黑树）对d[1]~d[i-1]进行排序。并且我们在树的每一个节点新增一个MAX域记录它的左子树中的函数f的最大值。这样，我们在计算f(i)时，只需用O(log n)时间找出不比d[i]大的最大数所对应的节点，并用O(1)的时间访问它的MAX域就可以得出f(i)的值。并且，插入操作和更新MAX域的操作也都只用O(log n)的时间（我们不需要删除操作），故总时间复杂度为O(n log n)。实际运行时这样的程序也是十分快的，n=10000时用不到1秒就可以得出结果，而原来的程序需要30秒。

　　在这样的情况下，我们可以用g(XT)= opt{g(Pred(XT)), f(Pred(XT))}这样一个方程式来求出g(XT)的值，并再用g(XT)的值求出f(XT)的值。这样，虽然我们相当于对g(XT)和f(XT)分别作了一次动态规划，但由于两个规划是同时进行的，时间复杂度却降为了O(nt)。由于我们在实际使用中的前趋即通常都是连续的，故这个方法有很多应用。例如IOI’99的《小花店》一题就可以用该方法把表面上的时间复杂度O(FV2)降为O(FV)。

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